Pembahasan Materi Perbandingan Lengkap

A. Definisi

Perbandingan adalah dua buah bilangan yang dibandingkan satu sama lainnya. Perbandingan identik dengan pecahan, sedangkan perbandingan tidak akan berubah jika dikalikan atau dibagi dengan bilangan lain , Selain itu perbandingan bisa dibagi dengan membagi suku pertama atau mengalikan suku kedua.Perbandingan juga bisa dikalikan dengan suatu bilangan dengan cara meangalikan bilangan pertama dengan bilangan tersebut dan sebaliknya untuk suku kedua.

Contoh

Didalam kelas terdapat 40 siswa, sebanyak 10 anak tidak masuk sekolah karena sakit , tentukanlah.

Perbandingan siswa yang tidak masuk dengan seluruh siswa

Perbandingan siswa masuk dengan seluruh kelas

Perbandingan siswa yang tidak masuk dengan  siswa yang masuk

Jawab

Siswa masuk : Siswa tidak masuk

40 : 10 maka perbandingan siswa masuk dengan siswa tidak masuk adalah 4 : 1

Siswa masuk : Siswa seluruh kelas

40 – 10 : 40

30 : 40, maka perbandingan siswa masuk dengan siswa seluruh kelas adalah     3 : 4

Siwa tidak masuk : Siswa yang masuk

10 : 40 – 10

10 : 30, maka perbandingan siswa tidak masuk dengan siswa masuk adalah  1 : 3

b. Perbandingan Umum

1. Menentukan Nilai Besaran dari Perbandingan Dua besaran , Jika P atau Q diketahui

P : Q = m : n

P = m/n  x  Q

Q = n/m  x  P

•       Contoh : Perbandingan umur Andi dan  Budi adalah 1 : 4.  Jika umur Budi 28 tahun berapa umur Andi?

•       Jawab :

•       Andi : Budi  =  1  :  4

Andi = ¼  x 28   = 7 tahun

•       2. Menentukan Nilai Besaran dari Perbandingan Dua Besaran , Jika (P + Q) diketahui :

•       P : Q = m : n

•       P = (m : (m + n)) x (P + Q)

•       P = (n : (m + n)) x (P + Q)

•       Contoh : Jumlah uang Amir dan uang Budi Rp60.000. Jika perbandingan uang Amir dan uang Budi adalah 2 : 3, uang yg dimiliki masing-masing anak adalah.....?

•       Uang Amir = P , uang Budi = Q

•       P + Q = Rp 60.000

•       P : Q  = 2 : 3, jml perbandingan P + Q =  2 + 3 =  5

•       P = (2 : (2+3)) x 60.000      Q = (3 : (2 + 3)) x 60.000

•           = 2/5  x  60.000                   = 3/5   x   60.000

•           = 24.000                               = 36.000

•       3. Menentukan Nilai Besaran dari perbandingan Dua Besaran Jika (P – Q) diketahui

•       Contoh : Diketahui: P ; Q = 2 : 5 , Jika P – Q = 6000,  nilai P dan Q adalah.......?

•       P : Q = 2 : 5

•       P – Q = 6000

•       P = (2 : (2 – 5 )) x 6000   pengurangan tanda mutlak (positif)

•          = 2/3  x  6000  =  4000

•       Q = 5/3 x 6000 = 10.000

Arti Rasio

•       Ali mempunyai 9 buah buku, sedang Lia mempunyai 6 buah buku.

•       a) Berapa banyak buku Ali?

•       b) Berapa banyak buku Lia?

•       Kita katakan bahwa rasio antara banyak buku Ali dan banyak buku Lia adalah 9 banding 6, atau dapat ditulis 9:6.

•       Rasio banyak buku Lia dan banyak buku Ali adalah 6 banding 9 atau dapat ditulis 6:9.

•       Rasio adalah perbandingan dua kuantitas dengan satuan yang sama.

•       Dua orang siswa dapat membawa 15 buah buku. Berapa buah buku yang dapat dibawa 8 orang siswa?

•       Penyelesaian :

•       Cara I :

Banyaknya siswa

Banyaknya buku

2

15

4

30

8

60

•       Jadi banyak buku yang dapat dibawa 8 siswa adalah 60 buah.

Ada dua cara dalam membandingkan dua besaran sebagai berikut.

a. Dengan mencari selisih.

b. Dengan mencari hasil bagi.

Menyederhanakan perbandingan hanya dapat dilakukan pada dua besaran yang sejenis.

Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar dengan jarak sebenarnya.

Pada gambar berskala selalu berlaku hal berikut.

a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk.

b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil.

Pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turun sejalan dengan nilai barang yang dibandingkan. Grafik perbandingan senilai berupa garis lurus.

Pada perbandingan berbalik nilai, jika nilai sebuah barang naik maka nilai barang yang dibandingkan akan turun atau sebaliknya. Grafik perbandingan berbalik nilai berupa kurva mulus.

Perbandingan antara dua besaran dapat dinyatakan dengan tabel seperti berikut. 

(i.) Pada perbandingan senilai berlaku .

(ii.)Pada perbandingan berbalik nilai berlaku .

Pembahasan Aritmatika Sosial Lengkap

Aritmatika Sosial

Rabat (Diskon), Bruto, Tara, dan Neto

Bunga Tabungan dan Pajak

Nah singkatnya sih dalam topik aritmatika sosial kita akan bergelut dengan, seperti di bawah ini

Rangkuman

Harga 

pembelian, harga penjualan, untung, dan rugi.

– Harga pembelian adalah harga barang dari pabrik, grosir, atau tempat lainnya.

– Harga penjualan adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli.

– Untung atau laba adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih dari harga pembelian.

Untung = harga penjualan – harga pembelian.

– Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.

Rugi = harga pembelian – harga penjualan.

Menentukan persentase untung atau rugi.

Menentukan harga pembelian dan harga penjualan jika persentase untung atau rugi diketahui.

– Jika untung maka berlaku

harga penjualan = harga pembelian + untung

harga pembelian = harga penjualan – untung

– Jika rugi maka berlaku

harga penjualan = harga pembelian – rugi

harga pembelian = harga penjualan + rugi

Bruto, tara, dan neto

Bruto = neto + tara

Neto = bruto – tara

Tara = bruto – neto

Persen tara dan harga bersih

Tara = persen tara x bruto

Harga bersih = neto x harga/satuan berat

Ada dua jenis bunga tabungan, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal dan bunga.

Pajak adalah suatu kewajiban yang dibebankan kepada masyarakat untuk menyerahkan sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkan pemerintah. 

Pembahasan

A. Harga pembelian, harga penjualan, untung, dan rugi

Dalam kehidupan sehari-hari sering kali kita menjumpai atau melakukan kegiatan jual beli atau perdagangan. Dalam perdagangan terdapat penjual dan pembeli. Jika kita ingin memperoleh barang yang kita inginkan maka kita harus melakukan pertukaran untuk mendapatkannya. Misalnya penjual menyerahkan barang kepada pembeli sebagai gantinya pembeli menyerahkan uang sebagai penganti barang kepada penjual.

Seorang pedagang membeli barang dari pabrik untuk dijual lagi dipasar. Harga barang dari pabrik disebut modal atau harga pembelian sedangkan harga dari hasil penjualan barang disebut harga penjualan.

Dalam perdagangan sering terjadi dua kemungkinan yaitu pedagan mendapat untung dan rugi.

1. Untung

Untuk memahami pengertian untung perhatikan contoh berikut:

Pak Umar membeli sebidang tanah dengan harga Rp 10.000.000,- kemudian karena ada suatu leperluan pak Umar menjual kembali sawah tersebut dengan harga Rp 11.500.000,-.

Ternyata harga penjualan lebih besar dibanding harga pembelian, berarti pak Umar mendapat untung.

Selisih harga penjualan dengan harga pembelian

=Rp 11.500.000,- – Rp 10.000.000,-

=Rp 1.500.000,-

Jadi pal Umar mendapatkan untung sebesar Rp 1.500.000,-

Berdasarkan contoh diatas, maka dapat ditarik kesimpulan:

Penjual dikatakan untung jika jika harga penjualan lebih besar dibanding dengan harga pembelian.

Untung = harga jual – harga beli

2. Rugi

Ruri membeli radio bekas dengan harga Rp 150.000,- radio itu diperbaiki dan menghabiskan biaya Rp 30.000,- kemudian Ruri menjual radio itu dan terjual dengan harga Rp 160.000,-

Modal (harga pembelian) = Rp 150.000,- + Rp 30.000,-

= Rp !80.000,-

Harga penjualan = Rp 160.000,-

Ternyata harga jual lebih rendah dari pada harga harga pembelian, jadi Ruri mengalami rugi.

Selisih harga pembelian dan harga penjualan:

=Rp 180.000,- – Rp 160.000,-

=RP 20.000,-

Berdasarkan uraian diatas penjual dikatakan rugi jika harga penjualan lebih rendah dibanding harga pembelian.

Rugi = harga beli – harga jual

3. Harga pembelian dan harga penjualan

Telah dikemukakan bahwa besar keuntungan atau kerugian dapat dihitung jika harga penjualan dan harga pembelian telah diketahui.

Besar keuntungan dirumuskan:

Untung =harga jual – harga beli

Maka dapat diturunkan dua rumus yaitu:

1. Harga jual = harga beli + Untung

2. Harga beli = harga jual – harga untung

Besar kerugian dirumuskan:

Rugi = harga beli – harga jual

Maka dapat diturunkan rumus:

1. Harga beli = harga jual + Rugi

2. Harga jual = harga beli – Rugi 

B. Persentase untung dan rugi

1. Menentukan Persentase Untung atau Rugi

Pada persentase untung berarti untung dibanding dengan harga pembelian, dan persentase rugi berarti rugi dibanding harga pembelian.

Untung

Persentase Untung = X 100 %

Harga beli

Rugi

Persentase Rugi = X 100 %

Harga beli

Contoh:

a). Seorang bapak membeli sebuah mobil seharga Rp 50.000.000, karena sudah bosan dengan mobil tersebut maka mobil tersebut dijual dengan harga Rp 45.000.000,.Tentukan persentase kerugiannya!

Jawab:

Harga beli Rp 50.000.000

Harga jual Rp 45.000.000

Rugi = Rp 50.000.000 – Rp 45.000.000

= Rp 5.000.000

Rp 5.000.000

Rp 50.000.000

= Rp 10 %

Jadi besar persentase kerugiannya adalah 10 %.

b). Seorang pedagang membeli gula 5 kg dengan harga Rp 35.000, kemudian dijual dengan harga Rp 45.000, Berapakah besar persentase keuntungan pedagang tersebut?

Jawab:

Harga beli Rp 35.000,

Harga jual Rp 45.000,

Untung = Rp 45.000 – Rp 35.000

= Rp 10.000

Rp 10.000

Rp 35.000

= 28,7 %

Jadi persentase keuntungan adalah 28,7 %

2. Menentukan harga pembelian atau harga penjualan berdasarkan persentase untung atau rugi

Contoh:

Seorang pedagang membeli ikan seharga Rp 50.000 / ekor. Jika pedagang tersebut menghendaki untung 20 % berapa rupiahkah ikan tersebut harus dijual?

Jawab:

Harga beli Rp 50.000

Untung 20 % dari harga beli = = Rp 10.000

Harga jual = harga beli + untung

=Rp 50.000 +Rp 10.000

=Rp 60.000

Jadi pedagang itu harus menjual dengan harga Rp 60.000

Persentase untung atau rugi selalu dibandingkan terhadap harga pembelian (modal), kecuali ada keterangan lain.

Persentase Untung =

Persentase Rugi =

Hb = harga pembelian

C. Rabat(diskon), bruto, tara, dan neto

1. Rabat

Rabat adalah potongan harga atau lebih dikenal dengan diskon.

Contoh:

Sebuah toko memberikan diskon 15 %, budi membeli sebuah rice cooker dengan harga Rp 420.000. berapakah harga yang harus dibayar budi?

Jawab:

Harga sebelum diskon = Rp 420.000

Potongan harga = 15 % x Rp 420.000 = Rp 63.000

Harga setelah diskon = Rp 420.000 – Rp 63.000 = Rp 375. 000

Jadi budi harus membayar Rp 375.000

Berdasarkan contoh diatas dapat diperoleh rumus:

Harga bersih = harga kotor – Rabat (diskon)

Harga kotor adalah harga sebelum didiskon

Harga bersih adalah harga setelah didiskon

2. Bruto, Tara, dan Neto

Dalam sebuah karung yang berisi pupuk tertera tulisan berat bersih 50 kg sedangkan berat kotor 0,08 kg, maka berat seluruhnya = 50kg + 0,08kg=50,8kg.

Berat karung dan pupuk yaitu 50,8 kg disebut bruto(berat kotor)

Berar karung 0,08 kg disebut disebut tara

Berat pupuk 50 kg disebut berat neto ( berat bersih)

Jadi hubungan bruto, tara, dan neto adalah:

 Neto = Bruto – T ara

Jika diketahui persen tara dan bruto maka untuk mencari tara digunakan rumus:

 Tara = Persaen Tara x Bruto

Untuk setiap pembelian yang mendapat potongan berat(tara) dapat dirumuskan:

 Harga bersih = neto x harga persatuan berat

D. Bunga tabungan dan pajak

1. Bunga tabungan (Bunga Tunggal)

Jika kita menyimpan uang dibank jumlah uang kita akan bertambah, hal itu terjadi karena kita mendapatkan bunga dari bank. Jenis bunga tabungan yang akan kita pelajari adalah bunga tunggal, artinya yang mendapat bunga hanya modalnya saja, sedangkan bunganya tidak akan berbunga lagi. Apabila bunganya turut berbunga maka jenis bunga tersebut disebut bunga majemuk.

Contoh:

Rio menabung dibank sebesar Rp 75.000 dengan bunga 12% per tahun. Hitung jumlah uang rio setelah enam bulan.

Jawab:

Besar modal (uang tabungan) = Rp 75.000

Bunga 1 tahun 12 % =

=

Bunga 6 bulan =

= Rp 4500

Jadi jumlah uang Rio setelah disimpan selama enam bulan menjadi:

= Rp 75.000 + Rp 4500

= Rp 79.500

Dari contoh tersebut dapat disimpulkan

Bunga 1 tahun = persen bunga x modal

Bunga n bulan = x persen bunga x modal

= x bunga 1 tahun

Persen bunga selalu dinyatakan untuk 1 tahun, kecuali jira ada ketersngan lain pada soal.

2. Pajak

Pajak adalah statu kewajiban dari masyarakat untuk menterahkan sebagian kekayaannya pada negara menurut peraturan yan di tetapkan oleh negara. Pegawai tetap maupun swasta negeri dikenakan pajak dari penghasilan kena pajak yang disebut pajak penghasilan (PPh). Sedangkan barang atau belanjaan dari pabrik, dealer, grosor, atau toko maka harga barangnya dikenakan pajak yang disebut pajak pertambahan nilai (PPN).

Contoh:

Seorang ibu mendapat gaji sebulan sebesar Rp 1.000.000 dengan penghasilan tidak kena pajak Rp 400.000. jira besar pajak penghasilan (PPh) adalah 10 % berapakah gaji yang diterima ibu tersebut?

Jawab:

Diketahui: Pesar penghasilan Rp 1.000.000

Penghasilan tidak kena pajak Rp 400.000

Pengahasilan kena pajak = Rp 1.000.000 – Rp 400.000

= Rp 600.000

Pajak penghasilan 10 %

Ditanya: gaji yang diterima ibu tersebut

Jawab:

Besar pajak penghasilan = 10 % x Rp 600.000

= x Rp 600.000

= Rp 60.000

Jadi besar gaji yang diterima ibu tersebut adalah

= Rp 1.000.000 – Rp 60.000

= Rp 940.000

LATIHAN

1. Seorang pedagang membeli telur 10 kg dengan harga Rp 120.000, kemudian telur itu dijual denan harga Rp12.500/kg. Berapakah keuntungan pedagang tersebut?

2. Dari soal no.1 jika dari 10 kg telur pecah 1 kg sehingga tidak dapat dijual, maka berapakah persentase kerugian yang ditanggung pedagang?

3. Dalam sebuah toko terdapat diskonan, baju dengan harga Rp 40.000 didiskon 10 %, celana seharga Rp 70.000 didiskon 15 %, topi seharga 20.000 didiskon 5 %, tas seharga 35.000 didiskon 5 %, dan kaos seharga Rp 55.000 didiskon 25 %. Jika Yuda ingin berbelanja dengan menghabiskan uang antara Rp 130.000 s/d Rp 150.000 maka barang apa saja yang akan Yuda beli?

4. Ahmad membeli sepeda motor dengan harga Rp 15.000.000 dengan pajaknya 10 %, setelah beberapa tahun Ahmad menjual mator tersebut dengan harga Rp 11.500.000. berapakah kerugian yang diderita Ahmad?

Penyelesaian:

1. Diketahui: harga beli 10 kg telur Rp 120.000

Harga jual 1 kg telur Rp 12.500

Ditanya: keuntungan pedagang?

Jawab:

Untung = Harga Jual – Harga Beli

Harga jual = 10 x Rp 12.500

= Rp 125.000

Untung = Rp 125.000 – Rp 120.000

= Rp 5.000

Jadi pedagang itu mendapat keuntungan Rp 5000

2. Diketahui: Harga beli 10 kg telur Rp 120.000

Harga jual 1 kg telur Rp 12.500

Telur yang dapat dijual 10 kg – 1 kg = 9 kg

Ditanya: Persentase kerugian yang ditanggung pedagang?

Jawab:

Persentase Rugi = x 100 %

Rugi = harga beli – harga jual

Harga jual = 9 x Rp 12.500

= Rp 112.500

Rugi = Rp 120.000 – Rp 112.500

= Rp 7.500

Persentase Rugi =

= 6,25 %

Jadi persentase kerugiannya adalah 6,25 %.

3. diketahui: Harga baju Rp 40.000, diskon 10 %

Harga celana Rp 70.000, diskon 15 %

Harga topi Rp 20.000, diskon 5 %

Harga tas Rp 35.000,diskon 5 %

Harga kaos Rp 55.000,diskon 15 %

Uang belanja Rp 130.000 s/d Rp 150.000

Ditanya: Barang apa saja yang bisa dibeli Yuda?

Jawab:

Harga setelah didiskon:

Baju = 40.000 – (10 % x Rp 40.000) = 40.000 – 4000 = 36.000

Celana = 70.000 – (15% x Rp 70.000) = Rp 64.500

Topi = 20.000 – (5 % x Rp 20.000) = Rp 19.000

Tas = Rp 35.000 – ( 5 % x Rp 35.000) = Rp 33.250

Kaos = Rp 55.000 – (15 % x Rp 55.000) = Rp 41.250

Jadi barang yang dapat dibeli Yuda adalah

Celana, tas, kaos 

Baju, celana, tas 

Baju, celana, kaos

4. Diketahui: harga beli Rp 15.000.000

Pajak 10 % = 10 % x 15.000.000 = Rp 500.000

Harga jual Rp 11.500.000

Ditanya: kerugian?

Jawab:

Besar modal ( harga beli + pajak) = Rp 15.000.000 + Rp 500.000

= Rp 15.500.000

Rugi = Rp 15.500.000 – Rp 11.500.000

= Rp 4.000.000

Jadi kerugian yang diderita Ahmad adalah Rp 4.000.000.

Pembahasan Himpunan Matematika Lengkap

Teori himpunan

Relasi himpunan

Macam-macam himpunan

Himpunan kosong

Himpunan semesta

Himpunan kuasa

Himpunan bagian

Komplemen himpunan

Hubungan antar himpunan

Himpunan gabungan

Operasi himpunan

Himpunan diagram venn

Contoh himpunan

Soal-soal himpunan

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Istilah kelompok, kumpulan, maupun gugus dalam matematika disebut dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman bernama Georg Cantor (1845-1918) Benda yang termasuk dalam himpunan biasa disebut dengan anggota, elemen, atau unsur.

Contoh Kelompok/kumpulan yang merupakan suatu himpunan:

Kelompok hewan berkaki empat.

Yang merupakan anggota, misalnya : Gajah, sapi, kuda, kambing

Yang merupakan bukan anggota, misalnya : ayam, bebek, itik.

Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan:

Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.

Mengapa disebut begitu??? karena batasan contoh di atas tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.

2. Notasi dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z.  Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Contoh  :

A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.

Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 6.

3. Menyatakan Suatu Himpunan

Himpunan dapat dinyatakan dalam tiga cara:

a. Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,

ditulis     P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

b. Dengan notasi pembentuk himpunan.

Pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh:

P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis

P = {10 < x < 40, x ∈ bilangan prima}.

c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal {....}, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma ( - ).

Contoh :

P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Contoh :

Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.

a. Dinyatakan dengan kata-kata.

Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}

b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan.

Z = {20 < x < 46, x ∈ bilangan ganjil}

c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.

4. Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga.

Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5}., n(A) = 5

Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

Contoh :  B = {1, 2, 3, ...}., n(B) = ∞

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. 

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.

a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan 

b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan 

c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis .

d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah , dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.

a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.

b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.

c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).

Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan

Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan

Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan

.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

Sekian saja sedikit materi kali ini tentang himpunan matematika. Sampai bertemu kembali di blog-blog berikutnya dari kami.

Pembahasan Persamaan Linear Dua Variabel Lengkap

A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = c 

dimana = x dan y adalah variabel

Pertidaksamaan linear dua variable adalah suatu pertidaksamaan yang didalamnya memuat dua variable dan masing-masing variable itu berderajat satu. Tanda pertidaksamaan adalah “<”, “>”, “≥”, “≤”

Bentuk pertidaksamaan linear dua variable: ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c

Contoh: 3x-5y ≤ 15

             4x + 3y ≥ 12       

        Mencari penyelesaian pertidaksamaan linear dua variable ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c  dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

a.       Membuat grafik garis ax + by =c

1)      Menentukan titik potong ax + by =c dengan sumbu X dan sumbu Y

2)      Menarik gais lurus melalui kedua titik tersebut

b.      Uji titik

Ambil sembarang titik uji P(x1,y1) yang terletak di luar garis ax + by =c  dan hitunglah nilai ax1 + by1, kemudian bandingkan nilai ax1 + by1 dengan nilai c.

1)      Jika ax1 + by1 ≤ c, maka bagian belahan bidang yang memuat titik P(x1,y1) ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear ax1 + by1 ≤ c.

2)      Jika ax1 + by1 ≥ c, maka bagian belahan bidang yang memuat titik P(x1,y1) ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear ax1 + by1 ≥ c.

B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = c

px + qy = d

dimana: x dan y disebut variabel

a, b, p dan q disebut koefisien

c dan r disebut konstanta

C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.

Contoh:

Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !

Penyelesaian:

2x + 3y = 6 dan x – y = 3

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan

x – y = 3 dikalikan 3.

2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6 

    x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9 

                                  5x = 15

                                    x = 15/5

                                    x = 3

Langkah II (eliminasi variabel x)

Seperti langkah I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan

x – y = 3 dikalikan 2.

2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6

    x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6

                                 5y = 0

                                   y = 0/5

                                   y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.

2.   Metode Substitusi

Metode Substitusi Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita n yatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.

Contoh:

Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x +3y = 6 dan x – y = 3 ! 

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut:

        2x + 3y = 6 

<=> 2 (y + 3) + 3y = 6 

<=>     2y + 6 + 3y = 6 

<=>             5y + 6 = 6

<=>       5y + 6 – 6 = 6 – 6

<=>                   5y = 0

<=>                     y = 0

Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:

             x = y + 3 

<=> x = 0 + 3

<=> x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(3,0)}

3.  Metode Gabungan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.

Contoh:

Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !

Penyelesaian:

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh.

    2x - 5y = 2 ×1 2x - 5y = 2

     x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12

                                  -15y = -10

                                       y = (-10)/(-15)

                                       y = 2/3

Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.

             x + 5y = 6

<=> x + 5 (2/3) = 6

<=>   x + 10/15 = 6

<=>                 x = 6 – 10/15

<=>                 x = 22/3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(2 2/3,2/3)}

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

A.  KALIMAT TERBUKA

1.Pernyataan

     Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai macam kalimat berikut.

a.   Jakarta adalah ibu kota Indonesia.

b.  Gunung Merapi terletak di Jawa Tengah.

c.  8 > -5

Ketiga kalimat diatas merupakan kalimat yang bernilai benar, karena  setiap orang mengakui kebenaran kalimat tersebut.

Selanjutnya perhatikan kalimat-kalimat berikut

a.   Tugu Monas terletak di Jogjakarta.

b.  2 + 5 < -2 .

c.  Matahari terbenam di arah timur.

Ketiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilai salah , karena setiap orang tidak sependapat dengan kalimat tersebut.

Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah) disebut pernyataan    

2. Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka

      Dapatkah kalian menjawab pertanyaan “Indonesia terletak di Benua x”. Jika x diganti Asia maka kalimat tersebuat bernilai benar. Adapun jika x Eropa maka kalimat tersebut bernilai salah. Kalimat seperti “Indonesia terletak di Benua x” disebut kalimat terbuka.

Contoh:

a.   3 – x = 6, x anggota himpunan bilangan bulat.

b.  12 – y = 7,y anggota himpunan bilangan cacah.

c.  z x 5 = 15,z anggota himpunan bilangan asli.

Kalimat  3 – x = 6, x anggota bilangan bulat akan bernilai benar jika  x diganti dengan -3 dan akan bernilai salah jika x diganti bilangan selain -3. Selanjutnya, x disebuat variabel sedangkan 3 dan 6 disebut konstanta  dari kalimat 12 – y = 7 dan z x 5 = 15 pada contoh diatas.

 Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum    diketahui nilai kebenarannya.

      Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan

      Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat terbuka bernilai benar.

B.   PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1.  Pengertian Persamaan dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan kalimat teruka x + 1 = 5.

Kalimat terbuka tersebut dihubungkan dengan tanda sama dengan (=). Selanjutnya, kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) disebut persamaan .

Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel .

Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear .

 3.   Persamaan- Persamaan yang Ekuivalen

Perhatikan uraian berikut.

a.    x – 3 = 5

Jika x diganti bilangan 8 maka 8 – 3 = 5 (benar)

Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8

b.    2 x – 6 = 10 … (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2)

Jika x diganti bilangan 8 maka 2(8) – 6 = 10

                                               ó 16 – 6 = 10 (benar)

c.     x +  4 + 12… (kedua ruas pada persamaan a ditambah 7)

Jika x diganti bilangan 8 maka 8 + 4 = 12 (benar)

Jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8

Berdasarkan uraian diatas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan diatas disebut persamaan ekuivalen.

     Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan “ó”.

    Dengan demikian bentuk x – 3 = 5 ; 2 x – 6 = 10 ; dan x + 4 = 12 dapat    dituliskan sebagai x – 3 = 5 ó 2 x – 6 = 10 ó x + 4 = 12.

Dua pesamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dinotasikn dengan tanda “ó”.

 Pada persamaan x – 5 = 4, jika x diganti dengan 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian dari x – 5 = 4 adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 maka

     x – 5 = 4

ó x – 5 + 5 = 4 + 5

ó            x = 9

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x – 5 = 4 adalah {9}.

          Dengan kata lain, persamaan x – 5 = 4 ekuivalen dengan persamaan   x = 9, atau  ditulis x – 5 = 4 ó x = 9.

Suatu persamaan dapat dinyatakan kedalam persamaan yang ekuivalen dengan cara

a.    Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama,

b.    Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

4.   Penyelesaian Persamaan Linear  Satu Variabel Bentuk Pecahan

Dalam menentuan penyelesaian persamaan linear satu variabel bentuk pecahan, caranya hamper sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian slesaikan persamaan linear satu variabel.

5.   Grafik Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear  Satu Variabel

Grafik himpunan penyeleaian persamaan linear satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik).

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4(2 x + 3) = 10 x + 8, jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Kemudian, gambarlah pada garis bilangan.

Penyelesaian :

                  4(2 x + 3)     = 10 x + 8

             ó 8 x + 24       = 10 x + 8

             ó 8 x + 12 – 12= 10 x + 8 – 12    (kedua ruas dikurangi 12)

ó 8 x               = 10 x - 4

ó 8 x – 10 x     = 10 x – 4 – 10x (kedua ruas dikurangi 10 x)

ó -2 x              = -4

ó -2 x : (-2)      = -4 : (-2)            (kedua ruas dibagi -2)

ó x                 = 2

          Jadi, himpunan penyelesaian adalah {2}.

          Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut

A.  PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1.   Pengertian Ketidaksamaan

2. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 

Pada kalimat (a) dan (b) diatas masing-masing mempunyai satu variabel yaitu x  yang berpangkat satu (linear). Adapun pada kalimat (b) dan (c) mempunyau satu variabel berpangkat satu, yaitu p. Jadi,  kalimat terbuka diatas menyatakan suatu pertidaksamaan yang mempunyai satu variabel dan berpangkat satu .

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear).    

3.   Penyelesaian Pertidaksamaan Linear  Satu Variabel

Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2 , dengan x variabel pada himpunan bilangan asli.

Jika x diganti 1 maka 10 - 3x > 2

                                  ó10 -  3 x 1 > 2

                                  ó 7 > 2

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjdi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan                        4 x  - 2 > 3 x  + 5 dengan x  variabel pada himpunan bilangan cacah

Penyelesaian :

·  Cara1

Dengan mengganti tanda “>” dengan “=” diperoleh persamaan 4 x – 2 =   3 x + 5.

Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah x = 7. Selanjutnya ambillah satuh bilangan cacah kurang dari 7 dan lebih dari 7.

4 x -2 > 3 x  +  5 =

Jika x diganti 6 maka 4 x 6 – 2 > 3 x 6 + 5

                                            22  > 23 (bernilai salah)

Jika x diganti 8 maka 4 x 8 – 2 > 3 x 8 + 5

                                             30 > 29 (bernilai benar)

Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian dari 4 x – 2 > 3 x + 5 adalah {8,9,10…}

·  Cara2

           4 x – 2 > 3 x + 5

     ó 4 x – 2 + 2   > 3 x + 5 + 2     (kedua ruas ditambah 2)

   ó              4 x > 3 x + 7

   ó 4 x + (-3 x)  > 3 x + (-3 x) + 7 (kedua ruas ditambah -3 x)

     ó              x  > 7

Karena  x variabel pada himpunan bilangan cacah maka hpnya adalah {8,9,10}.

Dari contoh diatas, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan satu varibel dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu

a.    Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=”

b.    Menyatakan kedalam pertidaksamaan yang ekuivalen .

Bentuk Ajabar Lengkap Terbaru

Bentuk aljabar sangat penting dalam matematika. Seringkali jika kita akan menyelesaikan masalah dalam matematika, terlebih dahulu kita menyatakan permasalahan itu dalam bentuk aljabar. Suatu misal, Intan mempunyai 3 buah jeruk dan 2 buah apel. Bagaimanakah cara menuliskan banyaknya buah jeruk dan buah apel yang dimiliki oleh Intan dalam bentuk Aljabar ?

Bentuk gabungan antara bilangan dan huruf disebut bentuk aljabar suku tunggal.

Contoh : 3a, - 5x, 7y2

3, - 5 dan 7 disebut koefisien

a, x dan y disebut variable / peubah

Suku tunggal yang dihubungkan menggunakan tanda + atau – dengan suku tunggal lain atau dengan sebuah bilangan disebut bentuk aljabar suku banyak.

Contoh : 3a – 5x2 + 12, 7x2 + 3x – 1

12 dan – 1 disebut konstanta

– 5x2 dan 7x2 suku sejenis

3a dan 3x bukan suku sejenis

Pengertian Perkalian, Pemangkatan dan Pembagian pada Bentuk Aljabar Suku Tunggal

a. Perkalian : b a = a b = ab

b. Pemangkatan : - (b)2 = - b2

(- b)2 = b2

c. Pembagian : 6xy : 2x = 3y

A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

Perhatikan ilustrasi berikut:

Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah. Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar.

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x2 – 3x + 7, (x + 1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku tak sejenis.

Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut:

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. 

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a X (b + c) = (a X b) + (a X c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a X (b – c) = (a X b) – (a X c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

3. Perpangkatan

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. 

C. PECAHAN BENTUK ALJABAR

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar. 

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

a. Penjumlahan dan pengurangan

Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. 

b. Perkalian dan pembagian

Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. 

c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. 

Pembahasan Bilangan Bulat Lengkap

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positip, bilangan bulat negatif, dan nol. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan B, dimana B = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Operasi pada bilangan bulat

1.    Penjumlahan

Pada sembarang bilangan bulat

a, b, dan c berlaku sifat-sifat penjumlahan :

a)    Komutatif, a + b = b + a

b)    Asosiatif;   (a + b) + c = a + (b + c)

c)    Tertutup;   (a + b) Є bilangan bulat

d)    Unsur identitas;  a + 0 = 0 + a = a

2.    Pengurangan

Pada sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat-sifat pengurangan :

a)    Mengurangkan dengan suatu bilangan sama artinya menambahkan dengan lawan pengurangnya

Contoh :   a – b = b + (-a)

                  (-a) adalah lawan dari a

b)    Tertutup; (a – b) Є bilangan bulat

3.    Perkalian

Sifat-sifat perkalian yang berlaku jika a, b, dan c merupakan bilangan bulat adalah sebagai berikut :

a)    Komutatif;            a x b = b x a

b)    Asosiatif;              (a x b) x c = a x (b x c)

c)    Tertutup;              (a x b) Є bilangan bulat

d)    Unsur identitas   ;  a x 1 = 1 x a = a

e)    Perkalian dengan 0;  p x 0 = o x p = 0

f)     Distributif ;           a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

a x (b – c) = (a x b) – (a x c)

4.    Pembagian

Sifat-sifat pembagian yang berlaku jika a, b, dan c merupakan bilangan bulat adalah sebagai berikut :

Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian

            a : b = c ↔  b x c = a

OPERASI HITUNG BILANGAN PECAHAN


PECAHAN BIASA

Penjumlahan

Rumus  

Penyebut sama nilainya

a/n + b/n = (a+b)/n

Penyebut tidak sama nilainya

a/n + b/m = (am+bn)/nm

Contoh :

1.   3  +  4   =  3  + 4   =  7   =   1  2
      5       5           5          5             5

2.      3  +  1  =  (3 X 5) + (1 X 4)   =  19
4      5              4 X 5                  20


Pengurangan

Rumus
Penyebut sama nilainya

a/n - b/n = (a-b)/n

Penyebut tidak sama nilainya

a/n - b/m = (a-b)/nm


Contoh  :

1.   7  -  5  =  7 – 5  =  2
      8      8         8         8

2.      5  -  3  =  (5 X 4) – (3 X 6)  =   2
6     4               6 X 4                24


Perkalian

Rumus

a/n x b/m = (a x b)/(nm)

Contoh :

1.  2  X  4  =    8
     3       5       15

2.      12  x  10  =  120
20      15      300


Pembagian

Rumus

a/n : b/n = (a x m)/(n x b)

Contoh :

1.      3  :  2  =  3  X  5  =  15  =  1  7
4     5       4      2        8           8

2.  1  :  7  =  1  X  8  =   8
     3      8      3      7      21


Catatan : untuk menyamakan penyebut pada penjumlahan dan pengurangan dapat digunakan KPK dari kedua penyebut tersebut

PECAHAN CAMPURAN

Rumusnya sama dengan pecahan biasa, hanya langkah pertama adalah mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa.
PECAHAN BIASA


PERSEN

Penjumlahan

Rumus
a %  +  b %  =  (a+b) %

Contoh :

1.      25 %  +  30 %  =  55 %
2.      15 %  +  12  %  =  27 %

Pengurangan

Rumus
a %  -  b %  =  (a-b) %

Contoh :

1.      45 %  - 20 %  =  25 %
2.      60 %  - 15 %  =  45 %

Perkalian

Rumus
a %  x  b %  =  (a x b) %

Contoh :

1.      20 % X 15 =  300 %
2.      25 % X 4   =  100 %


Pembagian

Rumus  

a %  :  b %  =  (a : b) %

Contoh :

1.      60 %  :  5  =  12 %
2.      84 %  :  3  =  28 %


PERMIL

Penjumlahan

Rumus

a ‰  +  b ‰  =  (a + b) ‰

Contoh :

1.      254 ‰  +  130 ‰  =  384 ‰
2.      500 ‰  +  125 ‰  =  625 ‰


Pengurangan

Rumus
                     
a ‰  -  b ‰  =  (a - b) ‰

Contoh :

1.      450 ‰  - 120 ‰  =  330 ‰
2.      700 ‰  - 250 ‰  =  450 ‰


Perkalian

Rumus

a ‰  x  b ‰  =  (a x b) ‰

Contoh :

1.      150 ‰ X 2   =  300 ‰
2.      400 ‰ X 3   =  1.200 ‰

Pembagian

Rumus
a ‰  x  b ‰  =  (a x b) ‰

Contoh :

1.      600 ‰  :  5  =  120 ‰
2.      840 ‰  :  30  =  28 ‰

PECAHAN DESIMAL

Operasi hitung pecahan desimal sama dengan operasi hitung bilangan bulat.  Hanya saja perlu diperhatikan letak dari tanda koma (,)

Penjumlahan dan Pengurangan
Dengan menggunakan cara bersusun pendek.
Letak masing-masing bilangan disesuaikan dengan nilai tempatnya.
Tanda koma (,) bilangan pertama sejajar dengan tanda koma bilangan kedua dst.

Contoh :

   0,85
     0,80
    45,675
    54,08
   0,61  +
     0,65  -
     2, 34   +
      2,525  -
   1,46
     0,15
   48,015
   51,555

Perkalian
Dengan menggunakan cara bersusun pendek.
Jumlah angka di belakang koma dari hasil perkalian adalah jumlah angka dibelakang koma bilangan pertama ditambah jumlah angka dibelakang koma bilangan kedua.

Contoh :

1.  0,75  X 2,6  =   1,95 (jumlah angka di belakang koma adalah 2 angka)
2.  24,625  X  2,13  =  52,45125 (jumlah angka di belakang koma adalah 5 angka)

Pembagian
Dengan menggunakan cara bersusun.
Jumlah angka di belakang koma dari hasil pembagian adalah jumlah angka dibelakang koma bilangan pertama dikurang jumlah angka dibelakang koma bilangan kedua.

Contoh :

8,4  :  0.2  =  42

1,15  :  0,5  =  2,3