Pembahasan Persamaan Linear Dua Variabel Lengkap

A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = c 

dimana = x dan y adalah variabel

Pertidaksamaan linear dua variable adalah suatu pertidaksamaan yang didalamnya memuat dua variable dan masing-masing variable itu berderajat satu. Tanda pertidaksamaan adalah “<”, “>”, “≥”, “≤”

Bentuk pertidaksamaan linear dua variable: ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c

Contoh: 3x-5y ≤ 15

             4x + 3y ≥ 12       

        Mencari penyelesaian pertidaksamaan linear dua variable ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c  dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

a.       Membuat grafik garis ax + by =c

1)      Menentukan titik potong ax + by =c dengan sumbu X dan sumbu Y

2)      Menarik gais lurus melalui kedua titik tersebut

b.      Uji titik

Ambil sembarang titik uji P(x1,y1) yang terletak di luar garis ax + by =c  dan hitunglah nilai ax1 + by1, kemudian bandingkan nilai ax1 + by1 dengan nilai c.

1)      Jika ax1 + by1 ≤ c, maka bagian belahan bidang yang memuat titik P(x1,y1) ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear ax1 + by1 ≤ c.

2)      Jika ax1 + by1 ≥ c, maka bagian belahan bidang yang memuat titik P(x1,y1) ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear ax1 + by1 ≥ c.

B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = c

px + qy = d

dimana: x dan y disebut variabel

a, b, p dan q disebut koefisien

c dan r disebut konstanta

C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.

Contoh:

Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !

Penyelesaian:

2x + 3y = 6 dan x – y = 3

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan

x – y = 3 dikalikan 3.

2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6 

    x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9 

                                  5x = 15

                                    x = 15/5

                                    x = 3

Langkah II (eliminasi variabel x)

Seperti langkah I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan

x – y = 3 dikalikan 2.

2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6

    x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6

                                 5y = 0

                                   y = 0/5

                                   y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.

2.   Metode Substitusi

Metode Substitusi Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita n yatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.

Contoh:

Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x +3y = 6 dan x – y = 3 ! 

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut:

        2x + 3y = 6 

<=> 2 (y + 3) + 3y = 6 

<=>     2y + 6 + 3y = 6 

<=>             5y + 6 = 6

<=>       5y + 6 – 6 = 6 – 6

<=>                   5y = 0

<=>                     y = 0

Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:

             x = y + 3 

<=> x = 0 + 3

<=> x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(3,0)}

3.  Metode Gabungan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.

Contoh:

Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !

Penyelesaian:

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh.

    2x - 5y = 2 ×1 2x - 5y = 2

     x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12

                                  -15y = -10

                                       y = (-10)/(-15)

                                       y = 2/3

Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.

             x + 5y = 6

<=> x + 5 (2/3) = 6

<=>   x + 10/15 = 6

<=>                 x = 6 – 10/15

<=>                 x = 22/3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(2 2/3,2/3)}